🧩 La Résolution de Problèmes Mathématiques

Cycle 3 (CM1 - CM2 - 6ème) : Guide pédagogique pour les professeurs

📖 Pourquoi enseigner la résolution de problèmes ?

Une compétence essentielle pour le développement mathématique

💡 Enjeux majeurs

La résolution de problèmes mathématiques à l'école primaire et au collège a pour objectif de contribuer au développement de compétences d'analyse et de raisonnement essentielles.

  • Consolider les connaissances mathématiques
  • Développer les compétences mathématiques (chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer)
  • Rendre les élèves actifs et renforcer leur confiance en eux
  • Savoir résoudre des problèmes est une finalité mais aussi le vecteur principal d'acquisition des connaissances
10+
Problèmes
par semaine
4
Phases de
résolution
3
Types de
problèmes

⚠️ Difficultés des élèves français

Les enquêtes nationales et internationales montrent que les élèves français rencontrent des difficultés importantes en résolution de problèmes.

Les chercheurs ont mis en évidence l'usage de démarches de résolution superficielles qui s'avèrent inefficaces pour résoudre de véritables problèmes.

  • Absence de familiarité avec le contexte des problèmes : Les élèves ne sont pas toujours familiers avec les situations décrites dans les énoncés, ce qui complique leur compréhension.
  • Longueur et complexité des énoncés : Les énoncés plus longs et complexes peuvent déstabiliser les élèves, surtout s'ils contiennent plusieurs données numériques.
  • Présence d'illustrations : Les illustrations peuvent parfois distraire les élèves ou ajouter de la complexité en multipliant les sources d'information.
  • Présence de données inutiles : Les données superflues augmentent la charge cognitive et peuvent induire en erreur les élèves qui ne comprennent pas bien le problème.
  • Lexique spécifique aux mathématiques : Les élèves peuvent rencontrer des difficultés avec le vocabulaire spécifique aux mathématiques, ce qui complique la compréhension des énoncés.
  • Mots-clés de l'énoncé : Les mots comme "plus", "moins", "fois" peuvent induire les élèves à effectuer des opérations incorrectes si le contexte n'est pas bien compris.

Place des problèmes

  • Consensus sur la place centrale de la résolution de problèmes : Importance dans l'enseignement des mathématiques à l'école primaire et au collège.
  • Critère principal de la maîtrise des connaissances : Utilisation de la résolution de problèmes pour évaluer la compréhension dans tous les domaines des mathématiques.
  • Moyen d'appropriation des connaissances : Garantie du sens des connaissances par la résolution de problèmes.
  • Définition large des « problèmes » : Focalisation sur les problèmes verbaux à données numériques.
  • Problèmes sous forme de texte : Présence éventuelle d'illustrations.
  • Mise en relation des données numériques : Réalisation d'opérations mathématiques pour obtenir les réponses.

✅ 3 compétences clés à développer

  • Les connaissances mathématiques : Accompagner les élèves à utiliser leur mémoire pour résoudre de nouveaux problèmes. Le transfert d'apprentissage est important, car certains problèmes deviennent automatisés, tandis que d'autres nécessitent une adaptation des méthodes à la situation.
  • La mémoire de problèmes similaires Accompagner les élèves à utiliser leur mémoire pour résoudre de nouveaux problèmes. Le transfert d'apprentissage est important, car certains problèmes deviennent automatisés, tandis que d'autres nécessitent une adaptation des méthodes à la situation.
  • Les compétences diverses :
    • Accompagner les élèves à avoir confiance en eux, à s'engager activement dans la résolution de problèmes, à lire et comprendre les énoncés, à collaborer avec d'autres élèves, et à organiser et à structurer leur travail.
    • Quatre piliers de l'apprentissage : prêter attention, s'engager activement, tirer des leçons de leurs erreurs et consolider leurs connaissances.
    • Accompagner les élèves à coordonner leurs compétences et leurs connaissances pour aborder et résoudre des problèmes nouveaux.

Programme du cycle 3

« Au cycle 3, la résolution de problèmes occupe une place centrale dans l’apprentissage des mathématiques, quel que soit le domaine du programme. Elle contribue à donner du sens aux notions étudiées en les inscrivant dans des situations concrètes, qu’elles soient issues d’autres disciplines ou intra-mathématiques. Elle joue un rôle majeur dans le développement de compétences mathématiques (chercher, modéliser, représenter, calculer, raisonner, communiquer) et constitue le critère principal pour évaluer la maîtrise des concepts enseignés et pour en garantir l’appropriation du sens. »

MENJ. (2025). Programme de mathématiques pour le cycle 3 — Annexe 2 (v2) [PDF]. BO du 17 avril 2025. Page Éduscol “Mathématiques – cycle 3”, mis à jour en juin 2025.)

📊 Classification des problèmes

Problèmes aux cycle 3

  • Renforcement de la familiarité avec les problèmes : Les élèves se confrontent à des problèmes similaires à ceux du cycle 2, mais avec une difficulté accrue.
  • Introduction de nouveaux nombres : Les élèves utilisent désormais des grands nombres, des nombres décimaux et des fractions.
  • Diversification des contextes des énoncés : Les contextes des énoncés se diversifient en intégrant progressivement des éléments moins familiers pour les élèves.
  • Complexification de la structure des problèmes : La structure des problèmes proposés se complexifie, avec des étapes plus nombreuses ou nécessitant des stratégies particulières.

3 catégories principales de problèmes à maîtriser au cycle 3

1️⃣ Problèmes en une étape

Résolution par une unique opération

  • Additifs (parties-tout, comparaison)
  • Multiplicatifs
  • Proportionnalité simple (problèmes multiplicatifs en une étape)

2️⃣ Problèmes en plusieurs étapes

Succession de problèmes simples

  • • Étapes intermédiaires
  • • Organisation des calculs
  • • Objectif majeur du CM

3️⃣ Problèmes atypiques

Stratégies particulières

  • • Algébriques
  • • Dénombrement
  • • Optimisation
  • • Algorithmes
Une photo

📊 Problèmes en une étape

  • Problèmes verbaux à données numériques qui se traitent en effectuant une des quatre opérations (addition, soustraction, multiplication ou division).
  • Exemples de problèmes en une étape proposés par Catherine Houdement : Les contextes des énoncés se diversifient en intégrant progressivement des éléments moins familiers pour les élèves.
    • Problème 1 : « Un massif de fleurs est formé de 60 tulipes rouges et de 15 tulipes noires. Combien y a-t-il de tulipes dans ce massif ? »
    • Problème 2 : « Un massif est formé de 60 rangées, toutes de 15 tulipes. Combien y a-t-il de tulipes dans ce massif ? »
    • Problème 3 : « Un massif de 60 fleurs est composé de tulipes et de 15 jonquilles. Combien y a-t-il de tulipes dans ce massif ? »
    • Problème 4 : « 60 tulipes sont disposées en 15 massifs tous identiques. Combien y a-t-il de tulipes dans un massif ? »
  • Les élèves du cours moyen ont besoin de travailler explicitement sur les liens entre les problèmes déjà résolus, en utilisant notamment des schémas pour mettre en évidence les similitudes structurelles entre les problèmes.

1️⃣ Problèmes en une étape

Résolution par une unique opération

  • Additifs (parties-tout, comparaison) : additionner ou soustraire deux nombres, ou plus, de l'énoncé
  • Multiplicatifs : multiplier ou diviser deux nombres de l'énoncé
  • Proportionnalité simple (problèmes multiplicatifs en une étape)
  • Limitation des catégories de problèmes : Il est préférable de classer les problèmes en seulement deux grandes catégories, sans les différencier par l'opération mathématique requise.
  • Flexibilité des élèves en réussite : Les élèves qui réussissent bien peuvent facilement utiliser des opérations différentes pour résoudre le même problème.
  • Stratégies de calcul flexibles : Par exemple, pour un calcul de soustraction comme 65 - 58, ils peuvent penser à une addition à trou (58 + ? = 65), et inversement.
  • Indicateur de compréhension des opérations : L'usage flexible d'opérations différentes en fonction des nombres est un signe de la bonne compréhension des opérations mathématiques.
  • Compréhension des opérations réciproques : La capacité à passer d'une addition à une soustraction montre que l'élève comprend leur relation de réciprocité.
  • Influence des énoncés sur le calcul : La formulation d'un problème peut influencer l'opération que l'élève va choisir, par exemple, le mot "reste-t-il" suggère une soustraction.
  • Importance de la flexibilité : La capacité à choisir une stratégie de calcul flexible est un enjeu majeur de l'apprentissage.
  • Rôle des problèmes en une étape : Ces problèmes sont les fondations des problèmes plus complexes que les élèves doivent résoudre au cours moyen.
les problèmes à une étape

➕ Problèmes additifs

⚠️ Difficultés des problèmes

La difficulté d'un problème ne dépend pas uniquement de l'opération mathématique. Le même calcul peut être associé à des problèmes de complexité très différente.

Problèmes additifs

Deux sous-catégories principales :

  • les problèmes additifs, additionner ou soustraire deux nombres, ou plus, de l'énoncé ;
  • les problèmes multiplicatifs, multiplier ou diviser deux nombres de l'énoncé.

Parties-tout

Deux parties distinctes forment ensemble un tout.

Exemple : "Une pastèque et un ananas pèsent ensemble 3,350 kg. La pastèque pèse 2,850 kg. Quelle est la masse de l'ananas ?"

Comparaison

Deux entités sont mises en relation et comparées.

Exemple : "Une bouteille contient 0,75 L d'eau. Un verre contient un demi-litre d'eau de moins que la bouteille. Quel volume d'eau le verre contient-il ?"

✖️ Problèmes multiplicatifs

⚠️ Impact sur la réussite des élèves

Le type de problème, la nature des grandeurs en jeu (quantités, longueurs, prix, etc.), les ensembles auxquels appartiennent les nombres en jeu dans l’énoncé (entiers, décimaux, fractions), les liens qu’entretiennent entre eux ces nombres, ainsi que l’opération attendue (multiplication ou division) ont un impact sur la réussite des élèves

Avant l’introduction des algorithmes de calcul posé, les élèves peuvent déjà résoudre des problèmes multiplicatifs en une étape en s’appuyant sur :

  • le calcul mental ou en ligne ;
  • des faits numériques mémorisés ;
  • la manipulation de matériel de numération ;
  • l’utilisation de dessins, schémas ou tableaux.

Ces méthodes s’appliquent au cycle 2 et au cours moyen.

Problèmes multiplicatifs

Plusieurs types selon la structure :

Valeur d'une part × Nombre de parts = Valeur totale

Exemple : "Un massif est formé de 60 rangées, toutes de 15 tulipes. Combien y a-t-il de tulipes dans ce massif ?"


Le problème consiste à trouver un des trois nombres à partir des deux autres.

Comparaison multiplicative

Exemple : "Un terrain rectangulaire a une largeur de 78,7 m et une longueur 4 fois plus longue que la largeur. Quelle est la longueur de ce terrain ?"


Les problèmes de comparaison conduisent parfois à des divisions, ce qui peut être source de difficultés pour les élèves qui s’appuient sur le mot clé « fois plus » comme induisant une multiplication.

Produit cartésien

Exemple : "Une poupée est livrée avec 4 pantalons et 12 tee-shirts. De combien de façons est-il possible d'habiller la poupée ?"


Le produit cartésien de deux ensembles est l’ensemble de tous les couples dont la première composante appartient au premier ensemble et la seconde au second ensemble.
On peut représenter l’ensemble de ces solutions en construisant un arbre ou un tableau.

Produit cartésien de deux grandeurs

"Un terrain rectangulaire a une longueur de 38,7 m et une largeur de 15 m. Quelle est l’aire de ce terrain ?"


Au collège, ces problèmes seront plus fréquents avec la rencontre de grandeurs quotients et de grandeurs produits (m/s, wattheure, kg/m3 , etc.). De façon analogue aux cas précédents, la recherche d’un des facteurs du produit conduit à effectuer une division.

📊 Problèmes en plusieurs étapes

📝 Définition et caractéristiques des problèmes en plusieurs étapes

  • Ce sont des problèmes verbaux à données numériques qui exigent plusieurs calculs successifs pour être résolus.
  • Pour les résoudre, il faut comprendre les relations entre les données et le résultat recherché, puis organiser les calculs nécessaires. Il n'y a pas de véritable tâtonnement.
  • On peut les classer en différentes catégories, comme les problèmes additifs ou multiplicatifs en plusieurs étapes.
  • Le cœur de l’activité de résolution de problèmes au cours moyen est l’apprentissage de la résolution de problèmes en plusieurs étapes.

🧠 Enjeu pédagogique des problèmes en plusieurs étapes

  • Ils constituent un objectif majeur dans l'enseignement de la résolution de problèmes.
  • Ils permettent de s'assurer que les élèves comprennent le sens des quatre opérations mathématiques fondamentales. En forçant les élèves à se concentrer sur la compréhension de l'énoncé et la modélisation du problème, ils évitent de réduire la résolution de problèmes à la simple recherche d'une «bonne opération».
  • La multiplicité des réponses possibles rend le choix au hasard d'une opération moins efficace, ce qui garantit une meilleure maîtrise des connaissances et des compétences par l'élève.

📈 Difficultés et développement des compétences

  • La difficulté de ces problèmes ne se limite pas à la somme des difficultés de leurs sous-problèmes, car il faut aussi savoir lier ces sous-problèmes entre eux.
  • Ils obligent les élèves à élaborer leur propre stratégie de résolution, renforçant ainsi leurs compétences acquises en résolvant des problèmes à une seule étape.
  • S'entraîner à résoudre ces problèmes renforce également les compétences de résolution de problèmes à une étape.

✅ Évaluation des compétences par le professeur

  • Les problèmes à plusieurs étapes permettent aux enseignants de mieux évaluer les compétences des élèves.
  • Ils réduisent le risque de "faux positifs", c'est-à-dire les bonnes réponses obtenues par hasard ou en se basant sur des indices non pertinents (comme un mot-clé ou l'opération travaillée en classe).
  • Ils réduisent le risque de "faux positifs", c'est-à-dire les bonnes réponses obtenues par hasard ou en se basant sur des indices non pertinents (comme un mot-clé ou l'opération travaillée en classe).
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📊 Problèmes atypiques

Catégorie difficile à définir...

  • Ensemble des problèmes verbaux à données numériques que les élèves du cours moyen doivent pouvoir résoudre
  • Ces problèmes ne correspondent pas aux catégories de problèmes en une ou plusieurs étapes mentionnées précédemment
  • Ils ne constituent pas le cœur de l'activité de résolution de problèmes au cours moyen, qui se concentre sur les problèmes en plusieurs étapes.
  • Cette catégorie est néanmoins développée longuement dans le guide car elle est relativement complexe à cerner.

⬆️ Compétences et stratégies

  • Développer des compétences transversales: La résolution de ces problèmes permet de développer des compétences telles que l'autonomie, la prise de décisions et la créativité
  • Acquérir des stratégies et des types de raisonnements: Les élèves doivent pouvoir réutiliser des méthodes de résolution déjà travaillées pour s'attaquer à de nouveaux problèmes similaires.
  • Organisation de l'apprentissage: Pour que les élèves puissent faire le lien entre les problèmes, l'apprentissage ne doit pas être le fruit du hasard mais doit être organisé.
  • Identification d'indices pertinents: Il est crucial de mettre l'accent sur les indices qui guident la mémorisation et l'évocation des stratégies résolues avec succès.

🗂️ Familles de problèmes

  • Typologie non exhaustive: Il n'est pas possible d'énumérer tous les problèmes atypiques, mais certaines familles de situations classiques doivent être rencontrées par les élèves.
  • Quatre familles principales de la plus fréquemment rencontrée à la plus rare :
    • Problèmes algébriques
    • Problèmes de dénombrement
    • Problèmes préparant à l’utilisation d’algorithmes
    • Problèmes d’optimisation
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Les problèmes algébriques

Un problème mathématique de cours moyen sera considéré comme étant algébrique s’il peut être traité au cycle 4 par l’écriture et la résolution d’une ou de plusieurs équations du premier degré.


Stratégies de résolution: Au cours moyen, ces problèmes peuvent être résolus par essais et ajustements, par un traitement pré-algébrique (notamment avec la représentation en barres) ou par un raisonnement déductif basé sur une hypothèse.

Différentes façons de résoudre ces problèmes

  • Par essais et ajustements : l'élève choisit une valeur pour le nombre ou l'un des nombres cherchés, puis l'injecte dans le problème pour voir si cette valeur convient ; si ce n'est pas le cas, il fait une autre hypothèse en ajustant avec un nombre plus ou moins grand en fonction du résultat obtenu, jusqu'à ce qu'une valeur convienne.
  • Par un traitement pré-algébrique : l'élève produit ce qui s'apparente à une ou plusieurs équations qu'il manipule ensuite (combinaisons, substitutions) pour isoler une inconnue et en déterminer la valeur ; la représentation dite « en barres » est particulièrement adaptée à la résolution des problèmes algébriques à une inconnue.
  • Par un raisonnement s'appuyant sur les résultats obtenus à partir d'une hypothèse : ce type de traitement peut, notamment, être utilisé pour traiter les problèmes algébriques avec deux inconnues et deux équations.

Des exemples de probleèmes

  • Exemple 1 :« Dans un paquet de billes rouges, vertes ou bleues, il y a 162 billes. Il y a trois fois plus de billes rouges que de billes vertes et il y a 7 billes vertes de moins que de billes bleues. Combien y a-t-il de billes rouges ? »
  • Exemple 2 :« Dans une ferme, il y a des lapins et des poules. Pour faire chercher le nombre de poules et de lapins à son frère, Cindy lui dit qu’il y a 114 pattes et 40 têtes. Combien y a-t-il de poules et combien y a-t-il de lapins dans la ferme ? »

Les problèmes de dénombrement

Catégorie de problèmes atypiques qui consistent à déterminer le nombre d'éléments d'un ensemble.

Ils ne se résolvent pas immédiatement avec les quatre opérations arithmétiques de base.

Au collège, ces problèmes sont résolus avec des notions mathématiques comme les combinaisons ou les arrangements.

Pour les élèves du cours moyen, la résolution de ces problèmes nécessite une méthode d'organisation pour s'assurer que toutes les solutions ont été trouvées sans répétition.


Les outils les plus efficaces pour cela sont les arbres et les tableaux.

Exemples de problèmes de dénombrement

  • Problème de nombres à deux chiffres : Combien de nombres à deux chiffres peut-on former en utilisant uniquement les chiffres 2, 3, 4 et 5, sans répéter de chiffre ?. Un tableau peut être utilisé pour lister de manière exhaustive les 12 solutions possibles.
  • Problème de combinaisons :Un clown dispose de 2 chapeaux, 3 tee-shirts et 2 pantalons. Combien de costumes différents peut-il créer ?. Dans ce cas, un tableau est inadapté car il y a trois ensembles d'objets à combiner. L'utilisation d'un arbre est la méthode la plus efficace pour trouver les 12 combinaisons possibles de manière exhaustive.

Les problèmes préparant à l'utilisation d'algorithmes

➡️ rechercher des solutions vérifiant certaines conditions parmi un ensemble de cas possibles

Résolution

➡️ tester chaque cas possible pour voir s'il répond aux critères


Un raisonnement préalable peut aider à réduire le nombre de cas à tester.


Au collège, ces problèmes peuvent être résolus en écrivant un programme informatique.

Exemples de problèmes de ce type

  • Dimensions d'un rectangle :Trouver toutes les dimensions entières possibles d'un rectangle ayant une aire de 100 cm².
  • Années avec une somme de chiffres spécifique :Trouver toutes les années entre 2000 et 3000 dont la somme des chiffres est égale à 6.
  • Problèmes de partage :Un enseignant veut former des groupes avec 30 élèves, chaque groupe doit avoir le même nombre d'élèves et un nombre impair d'élèves. Donner deux façons différentes de former ces groupes, sans nécessairement chercher l'exhaustivité.

Les problèmes d'optimisation

➡️ trouver la meilleure solution possible parmi un ensemble de possibilités, tout en respectant un certain nombre de contraintes.

Résolution

  • Recherche de la meilleure solution dans un ensemble fini : Au cours moyen, les élèves résolvent des problèmes où la solution optimale se trouve dans un ensemble limité de cas.
  • Résolution par respect de plusieurs contraintes : Ces problèmes demandent de trouver la solution qui respecte toutes les contraintes données.

Exemples de problèmes de ce type

  • Exemple 1 : Parmi les rectangles dont les côtés mesurent un nombre entier de centimètres et dont le périmètre est de 20 cm, trouver celui qui a la plus grande aire.
  • Exemple 2 : Célia a 12 longueurs de fil, 40 perles rondes et 48 perles plates. Elle utilise 1 longueur de fil, 10 perles rondes et 8 perles plates pour fabriquer 1 bracelet. Si Célia fabrique des bracelets tous identiques, combien peut-elle en fabriquer ?
  • Exemple 3 : Lors d’une expédition en Amazonie, 21 voyageurs avec 45 caisses de matériel doivent utiliser une pirogue pour se rendre au point de départ de leur expé- dition. Le conducteur de la pirogue leur annonce qu’il ne peut transporter que 5 voyageurs à la fois, car il n’a que 5 gilets de sauvetage en plus du sien. Pour des raisons de place dans la pirogue, il ne peut transporter que 7 caisses de matériel à la fois, quel que soit le nombre de personnes transportées.Combien faut-il prévoir de voyages en pirogue pour transporter l’intégralité des voyageurs et de leur équipement ?

🔄 Le modèle de résolution en 4 phases

Un processus structuré pour analyser les productions des élèves

Processus de résolution

schéma illustrant la résolution des problènes

Problème verbal → Comprendre → Modéliser → Calculer → Répondre → Résultat

⚡ Régulation à chaque étape

Les 4 phases détaillées

1️⃣ COMPRENDRE

Objectif : Saisir le sens de l'énoncé et identifier ce qui est cherché

  • • Qu'est-ce que l'on cherche ?
  • • Quelle est la nature de ce que l'on cherche ?
  • • Comprendre les relations entre les données
  • • Reformuler avec ses propres mots

2️⃣ MODÉLISER

Objectif : Traduire la situation en problème mathématique

  • • Identifier les opérations nécessaires
  • • Utiliser des représentations (schémas, tableaux)
  • • Mobiliser les compétences : chercher, représenter, raisonner
  • • Phase centrale de la résolution

3️⃣ CALCULER

Objectif : Effectuer les opérations identifiées

  • • Calcul mental
  • • Calcul en ligne
  • • Calcul posé si nécessaire
  • • Identifier les nombres quelle que soit leur écriture

4️⃣ RÉPONDRE

Objectif : Interpréter et communiquer le résultat

  • • Interpréter dans le contexte du problème
  • • Formuler une phrase réponse
  • • Vérifier la vraisemblance
  • • Attitude critique sur le résultat

📚 Comprendre l'énoncé du problème

Les 5 composantes essentielles de la compréhension

1️⃣ Compréhension fine de l'histoire du problème

L'auteur insiste sur la nécessité d'une compréhension fine du problème, au-delà d'une lecture approximative.

Une compréhension globale peut être suffisante dans d'autres contextes, mais elle est souvent insuffisante pour résoudre un problème de manière correcte.

Il est crucial de comprendre précisément le sens des expressions comme "de plus que" ou "fois plus que", qui changent radicalement la nature de la relation entre les quantités.

2️⃣ Compréhension de la question

La compréhension de la question est essentielle.

C'est elle qui permet de déterminer l'information numérique qui est recherchée et la nature de ce qui est demandé.

Par exemple, pour un problème sur des bouteilles d'huile d'olive, comprendre la question permet de savoir que le résultat attendu est un nombre entier, qui est le cardinal d'un ensemble.

3️⃣ Cohérence du texte

La compréhension d'un problème mathématique utilise les mêmes processus que la compréhension de textes en français, notamment la cohérence locale et globale.

Cohérence locale

La cohérence locale est la capacité à faire des liens entre les phrases.

Elle permet de comprendre que le "12" dans l'énoncé de Lise et Simon fait référence à des coquillages, et que "sa sœur" est Lise.

Cohérence globale

La cohérence globale concerne la compréhension de l'organisation générale du texte.

Pour résoudre un problème, il est essentiel de comprendre qu'on s'intéresse aux quantités (cardinal) de deux collections, plutôt que de se concentrer sur des détails non pertinents comme la scène estivale ou l'âge des personnages.

4️⃣ Compétences d'inférence

Les compétences d'inférence sont essentielles, car les énoncés de problèmes utilisent fréquemment des pronoms et des catégories englobantes.

Il faut être capable d'inférer que "elle" et "lui" peuvent faire référence à la même personne (Camille).

De même, il faut comprendre qu'un mot comme "fruits" fait référence aux "pommes et aux poires", ce qui permet de reconnaître une structure de tout et de parties.

5️⃣ Auto-évaluation et régulation

L'auto-évaluation et la régulation jouent un rôle crucial en permettant aux élèves de s'assurer que le problème a du sens.

L'auto-évaluation permet de détecter une incompréhension, et la régulation sert à la surmonter.

Les problèmes qui nécessitent un ancrage dans le monde réel, comme le problème des planches, encouragent les élèves à prendre du recul par rapport aux données numériques et à ne pas faire de simples calculs sans réfléchir au contexte.

🎯 Modéliser

Phase centrale de la résolution de problèmes

1. Définition et rôle de la modélisation

La modélisation est le processus par lequel l'élève traduit une situation concrète en un problème mathématique.

Cette phase aboutit à déterminer les opérations à effectuer pour répondre à la question posée, en s'appuyant sur des représentations (dessins, schémas, tableaux, etc.). Elle dépend directement de la compréhension du problème et est centrale dans sa résolution.

2. Compétences mobilisées lors de la modélisation

Quatre compétences majeures de l'activité mathématique sont mobilisées lors du passage de l'énoncé au modèle mathématique.

• Chercher :

Cette compétence s'appuie sur la confiance des élèves en leur capacité à trouver la solution.

Cette confiance se développe grâce à une pratique régulière de la résolution de problèmes et à des retours positifs de l'enseignant.

• Représenter :

Cette compétence soutient la modélisation en reliant le texte du problème à ses caractéristiques mathématiques.

Les schémas, comme les schémas en barres, rendent visibles les relations entre les grandeurs de l'énoncé.

La recherche montre que les représentations schématiques sont un dispositif efficace, même pour les élèves en difficulté et pour des problèmes jamais rencontrés.

Cette compétence ne se développe pas spontanément ; elle nécessite un enseignement structuré pour que les élèves acquièrent des outils de représentation efficaces.

Il y a une interaction permanente entre les compétences ; par exemple, l'élève doit d'abord identifier la structure du problème (comparaison, tout et parties) avant de construire son schéma.

• Raisonner :

Le raisonnement est fortement mobilisé dans cette phase.

Il permet d'analyser la situation en utilisant ses connaissances pour établir un modèle mathématique adapté.

L'élève doit faire des inférences à partir des éléments de l'énoncé et parfois d'hypothèses émises en amont.

Les raisonnements doivent conduire à un travail sur la structuration de la langue, en mobilisant des connecteurs comme "donc" ou "parce que".

• Modéliser (au cœur de la phase) :

La compétence "modéliser" est au cœur de cette phase.

Elle est indissociable des autres compétences et interagit en permanence avec elles.

Par exemple, le schéma en barres n'est qu'un support pour dégager les étapes de résolution du problème et les traduire en opérations (addition puis soustraction), ce qui est le but de la modélisation.

3. Exemples de modélisation

Le document illustre la phase de modélisation avec un exemple précis.

• Problème des jus de fruits :

Le problème de Julien qui veut acheter deux bouteilles de jus de fruits conduit à modéliser la situation en deux étapes.

La première étape consiste à déterminer le prix total par une addition (1,87€ + 3,29€).

La seconde consiste à calculer l'argent supplémentaire nécessaire en soustrayant l'argent que Julien possède (4€) de ce total.

Cette modélisation n'est pas simple pour certains élèves, comme le montre le faible taux de réussite des élèves français.

exemple de modelisation

🧮 Phase 3 : Calculer

La réalisation des calculs qui découlent de la modélisation du problème

📐 Définition de la phase "Calculer"

La phase "Calculer" est la réalisation des calculs qui découlent de la modélisation du problème.

C'est la phase la plus simple à définir.

1. Mise en œuvre de la phase

Le calcul consiste à effectuer les opérations identifiées lors de la phase précédente.

L'auteur prend l'exemple du problème des jus de fruits pour illustrer cette étape.

Après avoir modélisé le problème, l'élève doit être capable de faire les calculs correspondant aux opérations trouvées.

Par exemple, il doit calculer la somme de 1,87 zed et 3,29 zeds, puis soustraire 4 zeds du résultat.

2. Compétences nécessaires

Cette phase ne peut être réalisée que si l'élève maîtrise suffisamment les contenus du programme de cycle 3.

Cela inclut l'utilisation et la représentation des grands nombres, des fractions simples, et des nombres décimaux, ainsi que la capacité à calculer avec ces nombres.

Pour y parvenir, l'élève doit identifier les nombres dans l'énoncé, quelle que soit leur écriture (en lettres, décimale, ou fractionnaire), et disposer des compétences techniques nécessaires pour effectuer les calculs attendus.

Les calculs peuvent être réalisés mentalement, en ligne ou en posant les opérations.

3. Lien avec la résolution de problèmes

La résolution de problèmes contribue à renforcer la maîtrise des techniques de calcul chez les élèves, qu'il s'agisse de calcul mental ou de calcul posé.

La fluidité dans cette phase dépend de la maîtrise préalable des techniques de calculs fondamentales.

🎯 La phase « Répondre »

Cette phase est l'étape finale de la résolution d'un problème mathématique.

Interprétation et communication

Les élèves doivent interpréter les résultats des calculs dans le contexte du problème et communiquer la réponse de manière claire et compréhensible.

Régulation et cohérence

L'élève doit effectuer un contrôle pour s'assurer que la réponse est cohérente et qu'elle répond bien à la question posée. Il s'agit de s'assurer de la compatibilité du résultat obtenu avec la situation de départ, notamment en vérifiant l'ordre de grandeur et le réalisme de la solution.

Vérifications

La cohérence peut être vérifiée à l'aide de critères extramathématiques et mathématiques. Par exemple, un nombre de passagers dans une voiture ne devrait pas être supérieur à six, et un nombre total de passagers répartis par groupes de trois devrait être un multiple de trois.

Difficulté

Établir le lien entre le résultat d'un algorithme (comme la multiplication) et la situation décrite dans l'énoncé représente souvent une difficulté pour les élèves.

Importance

La réflexion sur la cohérence de la réponse est essentielle pour identifier des erreurs potentielles et pour s'assurer que l'élève a bien répondu à la question. Cette étape est malheureusement souvent négligée.

🐣 Un exemple d'application : le problème des œufs

Présentation du problème

Le problème des œufs implique de ranger 1 551 œufs dans des boîtes de 6. L'opération attendue est une division euclidienne, car le nombre de boîtes doit être un entier.

Analyse des erreurs des élèves

Des exemples d'erreurs d'élèves illustrent l'importance de la phase « Répondre ».

L'élève 1

Il a utilisé une multiplication au lieu d'une division et n'a pas vérifié son résultat. Une régulation simple lui aurait fait remarquer que le nombre de boîtes (9 306) ne pouvait pas être supérieur au nombre d'œufs (1 551), ce qui l'aurait poussé à revoir son modèle.

L'élève 2

Il a oublié la virgule dans son calcul et n'a pas réalisé que son résultat (2 585) était illogique16. Il aurait dû estimer l'ordre de grandeur de son résultat en multipliant par 6 pour trouver son erreur.

L'élève 3

Il a trouvé un résultat décimal (258,5) mais n'a pas vérifié si cela était réaliste dans le contexte du problème. En effet, le nombre de boîtes doit être un nombre entier19. Il est aussi noté que la formulation « La réponse est... » ne favorise pas la régulation nécessaire.

L'élève 4

Bien que son résultat (258 boîtes) soit plausible, il n'a pas tenu compte du reste de la division (3 œufs). La régulation aurait dû le pousser à se demander si 258 boîtes suffisent à ranger tous les œufs.

🧐 Comment renforcer cette phase ?

Changer la nature des questions

Pour améliorer cette étape, on peut transformer les questions "Combien ?" en questions "Est-ce que ?"

Exemple

Le problème "Combien pèsent-ils à eux trois ?" pourrait être remplacé par "Est-ce qu'ils peuvent monter ensemble dans un ascenseur acceptant une charge maximale de 180 kg ?". Ce type de question encourage les élèves à ne pas seulement calculer, mais aussi à analyser et interpréter le résultat obtenu.

🔍 Analyse des erreurs des élèves

Un outil essentiel pour structurer et adapter l'aide pédagogique

📚 Introduction

L'analyse des erreurs des élèves est un outil essentiel pour les professeurs afin de structurer et d'adapter leur aide. Le guide présente une situation dans une classe de CM2 où un professeur utilise cette approche pour enseigner la résolution de problèmes impliquant des nombres décimaux.

📋 Situation initiale

La mise en place d'un problème pour des élèves de CM2. Le problème, présenté individuellement, est le suivant : un électricien a un rouleau de 50 m de fil et en découpe trois morceaux de 12,70 m chacun, et la question est de déterminer la longueur de fil restante.

L'observation des élèves en cours de travail. Le professeur circule dans la classe, observant et validant les traces écrites de six élèves afin d'analyser leurs productions et d'identifier leurs réussites ou leurs difficultés.

Analyse des productions d'élèves et interventions du professeur

La catégorisation des réponses des élèves

Le professeur classe les productions en quatre catégories : Réussi (R), Partiellement Réussi (PR), Non Réussi (NR) et Non Traité (NT).

👤 Le cas de l'élève 1

L'élève a correctement effectué les opérations attendues, ce qui a mené à une réponse juste. Le professeur félicite l'élève et valide sa réponse par écrit, le motivant ainsi à passer aux problèmes suivants.

👤 Le cas de l'élève 2

L'élève a bien compris le problème et a utilisé un schéma pertinent, mais a commis une erreur dans la soustraction des nombres décimaux.

Le professeur valide le schéma et l'addition correcte. Il invite l'élève à collaborer avec l'élève 1 pour comprendre son erreur, ce qui permet à l'enseignant de gagner du temps pour aider les élèves en plus grande difficulté.

👤 Le cas de l'élève 3

L'élève n'a pris en compte qu'un seul des trois morceaux de fil à découper, montrant une compréhension partielle de la situation.

En dialoguant, le professeur l'amène à relire l'énoncé, ce qui permet à l'élève de réaliser son erreur par lui-même et de la corriger.

👤 Le cas de l'élève 4

L'élève ne comprend pas le problème et n'a rien produit. Le professeur prend note de cette difficulté majeure et décide de revenir avec lui plus tard pour un accompagnement spécifique.

👤 Le cas de l'élève 5

L'élève a fait une addition au lieu de soustraire et ne sait pas pourquoi, montrant une difficulté de compréhension et de modélisation.

L'enseignant identifie que l'élève se focalise sur des éléments thématiques et non mathématiques de l'énoncé.

👤 Le cas de l'élève 6

L'élève a posé et effectué correctement les opérations, mais a oublié la virgule dans la réponse finale, ce qui rend le résultat incohérent avec le problème.

Le professeur guide l'élève en validant la multiplication correcte.

L'élève, en raisonnant, trouve son erreur et est invité à la corriger.

🎯 Stratégie de remédiation collective

La prise en charge des élèves avec des difficultés de compréhension.

Le professeur regroupe six élèves, dont les élèves 4 et 5, pour un travail ciblé sur la compréhension de l'énoncé.

L'utilisation de supports concrets pour faciliter la modélisation.

Le professeur utilise une ficelle pour représenter le rouleau et une baguette pour les morceaux, permettant aux élèves de visualiser et de manipuler les actions du problème.

Cette approche aide les élèves à construire une représentation mentale de la situation.

La conclusion de la remédiation. Après avoir modélisé le problème, le professeur guide les élèves pour qu'ils identifient les calculs à faire, puis les renvoie à leurs places pour qu'ils résolvent le problème de manière autonome.

⏱️ L'importance de la remédiation immédiate

Le professeur a prévu un temps de remédiation de 10 minutes juste après son premier tour de classe afin de donner aux élèves le temps de résoudre le problème. Cela montre une volonté de ne pas laisser les élèves en difficulté trop longtemps.

🚧 Identification des obstacles à la résolution de problèmes

Comprendre et maîtriser les difficultés pour mieux accompagner les élèves

💡 Principe fondamental

L'objectif pour les enseignants n'est pas d'éliminer les difficultés, mais de les identifier et de les maîtriser pour :

  • S'assurer que les problèmes sont accessibles aux élèves
  • Aider les élèves à développer de nouvelles compétences progressivement
  • Adapter le niveau de difficulté selon les objectifs pédagogiques

Les trois principales sources de difficulté

Les obstacles rencontrés par les élèves lors de la résolution de problèmes peuvent être classés en trois grandes catégories :

  1. La structure du problème - La complexité intrinsèque du problème
  2. Le texte de l'énoncé - La formulation et la présentation
  3. Les nombres en jeu - La nature et la manipulation des nombres

📐 La structure du problème

Une typologie de problèmes

Il existe différents types de problèmes, comme les problèmes en une étape, en plusieurs étapes, et les problèmes atypiques.

💡 Point clé : En général, les problèmes atypiques sont plus difficiles à résoudre pour les élèves que les problèmes à plusieurs étapes, car ils y sont moins habitués.

⚠️ Le nombre d'étapes et la nature des inconnues

Plus le nombre d'étapes est élevé, plus le problème est généralement difficile.

La difficulté d'un problème à une seule étape varie selon ce qui est connu et ce qui est cherché :

  • Il est plus facile pour les élèves de trouver un tout en connaissant les parties que de retrouver une partie en connaissant le tout et l'autre partie
  • Il est plus simple de trouver un état final que de trouver un état initial dans un problème où une grandeur évolue

Exemples de difficulté croissante

Plus facile : "J'ai 25 billes rouges et 18 billes bleues. Combien ai-je de billes en tout ?"

Plus difficile : "J'ai 43 billes en tout. J'ai 25 billes rouges. Combien ai-je de billes bleues ?"

📝 Le texte de l'énoncé

Une compréhension parfois entravée

La compréhension de l'énoncé peut constituer un obstacle majeur pour l'élève, qui peut avoir du mal à :

  • Saisir la situation décrite
  • Comprendre ce qui est demandé
  • Identifier les informations pertinentes

⚠️ Les facteurs d'obstacle liés au texte

  • Familiarité du contexte : Le degré de familiarité de l'élève avec le contexte et le lexique du problème influence la compréhension
  • Longueur de l'énoncé : Des énoncés plus longs et contenant plus d'informations à prélever peuvent être difficiles pour certains élèves de cours moyen
  • Données inutiles : La présence de données inutiles peut augmenter la charge cognitive et mettre en échec les élèves qui ne s'inscrivent pas dans une démarche de compréhension du problème

L'impact des mots-clés et du scénario

Des mots-clés (comme "plus", "perdre", "moins") peuvent inciter les élèves à choisir une opération spécifique sans réellement comprendre la situation.

⚡ Important : La réussite est meilleure lorsque l'opération attendue correspond sémantiquement au lexique de l'énoncé, mais cela peut conduire à de "faux positifs" en évaluation.

Les scénarios évoqués par les énoncés peuvent faciliter ou non la perception des relations mathématiques en jeu.

🖼️ Les illustrations, une aide à double tranchant

Les illustrations ne facilitent pas toujours la tâche des élèves :

  • Illustrations informatives : Celles qui contiennent une partie des informations nécessaires augmentent la difficulté, car elles exigent des allers-retours entre le texte et l'image
  • Illustrations décoratives ou "aidantes" : Peuvent avoir un effet négatif sur la réussite des élèves les plus fragiles, car elles augmentent la charge cognitive

Le rôle de la conception intuitive des opérations

La conception intuitive des opérations (par exemple, l'addition pour un gain) peut constituer un obstacle si elle ne coïncide pas avec la notion mathématique requise par le problème.

Exemple : Un problème impliquant une perte mais nécessitant une addition pour être résolu se heurte à cette conception intuitive.

📌 Recommandation : Il est important de confronter les élèves à des situations qui ne s'inscrivent pas dans le champ de validité de cette conception intuitive.

🔢 Les nombres en jeu

⚠️ La nature et l'écriture des nombres

La nature ou l'écriture des nombres peut être une source importante de difficulté :

  • Types de nombres : Fractions, décimaux, grands nombres
  • Impact cognitif : Ces nombres peuvent entraîner une surcharge cognitive pendant les phases de compréhension et de modélisation
  • Conversions nécessaires : La nécessité de changer l'écriture des nombres ou d'unités de mesure augmente la complexité du problème

🧮 Les techniques de calcul

Des calculs qui nécessitent des techniques opératoires nouvelles ou mal maîtrisées peuvent rendre un problème simple plus difficile à résoudre :

  • Division décimale
  • Opérations avec des fractions
  • Calculs avec de grands nombres

Cela peut également nécessiter le développement de stratégies de calcul spécifiques ou une nouvelle modélisation du problème.

Exemples de difficultés liées aux nombres

Nombres décimaux : "Un rectangle mesure 3,75 m de long et 2,8 m de large. Quel est son périmètre ?"

Conversion d'unités : "Une bouteille contient 1,5 L. Combien de verres de 25 cL peut-on remplir ?"

Grands nombres : "Une ville compte 248 756 habitants. Si la population augmente de 12 438 habitants, combien y aura-t-il d'habitants ?"

📚 Enseignement structuré de la résolution de problèmes

Organisation collective et progression pour un apprentissage efficace

🎯 Double objectif de l'enseignement

  • Apprentissage de stratégies et d'habiletés efficaces : Faire acquérir aux élèves des stratégies de résolution adaptées à des problèmes connus, ainsi que des quasi-automatismes pour les mobiliser aisément.
  • Développement des capacités face à l'inconnu : Apprendre aux élèves à ne pas être déstabilisés par des problèmes nouveaux, en inhibant les réflexes inadaptés et en développant leur confiance.

💡 Un enseignement efficace doit concilier ces deux aspects. Uniquement apprendre à résoudre des problèmes déjà rencontrés ne prépare pas les élèves à l'incertitude.

🎯 Des objectifs fixés collectivement

La collaboration entre enseignants pour une progression partagée et cohérente

🤝 Objectifs de la collaboration

Collaboration essentielle entre les enseignants d'une même école pour un accompagnement efficace des élèves. Cette collaboration s'étend aux enseignants du cycle 2 et à ceux du collège pour assurer une continuité pédagogique.

  • Les professeurs de cours moyen doivent travailler en cohérence avec leurs collègues du cycle 2 et les professeurs de mathématiques du collège
  • Permettre aux élèves d'atteindre des objectifs clairement définis
  • S'appuyer sur les acquis antérieurs des élèves au cycle 2
  • Mieux préparer les élèves à la sixième

🔄 Harmonisation des pratiques

Harmonisation des outils et des stratégies d'enseignement tout au long de la scolarité.

La liaison école-collège permet également d'harmoniser les pratiques au sein des différents établissements d'un même secteur. Ces échanges peuvent rendre l'enseignement plus efficace en s'appuyant sur ce qui a été fait l'année précédente.

  • Éviter les ruptures dans les apprentissages
  • Permettre aux enseignants de construire sur ce qui a déjà été fait
  • Assurer une continuité méthodologique

📊 Définition des types de problèmes

Identification des types de problèmes déjà résolus pour éviter les redondances et introduire progressivement des difficultés.

  • Différenciation claire des problèmes que l'on commence à fréquenter et de ceux dont la résolution est exigible
  • Avoir des exemples précis de problèmes résolus pour s'appuyer sur ceux-ci dès le début de l'année scolaire
  • Construire une progression adaptée garantissant une progression régulière des apprentissages

📚 Partage des stratégies d'enseignement

Partage des compétences développées dans les différentes phases de résolution de problèmes.

Cela inclut :

  • Les compétences en calcul
  • La compréhension du lexique mathématique
  • La modélisation à l'aide de schémas
  • Les différentes phases proposées dans le guide servant de base pour partager ce qui a été mené

💡 En plus de définir les problèmes, les enseignants doivent s'accorder sur les stratégies utilisées. Ce partage est un complément essentiel pour assurer une cohérence dans la manière dont la résolution de problèmes est enseignée.

📈 Établissement des niveaux de maîtrise

Utilisation des obstacles comme repères pour déterminer le niveau de difficulté des problèmes.

Les obstacles sont liés à :

  • La structure mathématique du problème
  • L'énoncé et sa complexité
  • Les données numériques utilisées

Ces curseurs aident à se mettre d'accord sur le niveau de maîtrise auquel les élèves doivent pouvoir faire face. Après avoir défini les problèmes et les stratégies, les enseignants peuvent établir des attentes claires en matière de maîtrise.

→ Ces niveaux de maîtrise constituent le critère d'évaluation du succès de la progression partagée.

✅ Points clés de la collaboration

📈 Construction d'une progression partagée

La concrétisation de la collaboration pédagogique pour un enseignement structuré

🎯 Établissement de la progression

Établissement d'une progression partagée, bien que la difficulté d'un problème soit multifactorielle.

Une progression simple peut être établie par année ou demi-année, incluant :

  • Des exemples concrets de problèmes pour chaque période
  • Des objectifs spécifiques sur les problèmes atypiques
  • Les attentes concernant la compétence de représentation
  • Une liste d'exemples de problèmes que les élèves doivent savoir traiter

🔗 De la collaboration à la progression

La collaboration et l'harmonisation des pratiques aboutissent à la création d'une progression structurée.

Cette progression est la concrétisation :

  • Des discussions sur les types de problèmes
  • Des échanges sur les stratégies d'enseignement
  • De la définition des niveaux de maîtrise
  • De la volonté de structurer l'enseignement de manière efficace

📊 Éléments clés de la progression partagée

La progression doit être :

  • Simple et claire : Organisée par année ou demi-année
  • Concrète : Avec des exemples précis de problèmes
  • Progressive : Tenant compte de la complexité multifactorielle
  • Partagée : Fruit de la collaboration entre enseignants

📝 Contenu type d'une progression partagée

Par période (année ou semestre), la progression indique :

  • ✓ Liste d'exemples de problèmes que les élèves doivent savoir traiter
  • ✓ Types de problèmes à introduire progressivement
  • ✓ Objectifs spécifiques pour les problèmes atypiques
  • ✓ Compétences de représentation attendues (schémas, tableaux...)
  • ✓ Liens avec les apprentissages du cycle précédent
  • ✓ Préparation aux attentes du cycle suivant

⚠️ Points de vigilance

La difficulté d'un problème est multifactorielle

Il est important de prendre en compte :

  • La structure mathématique du problème
  • La complexité de l'énoncé
  • Les nombres en jeu
  • Le contexte et la familiarité des élèves avec la situation
  • Le nombre d'étapes nécessaires

→ La progression doit tenir compte de tous ces facteurs pour être véritablement adaptée aux besoins des élèves.

✅ Checklist pour une progression partagée efficace

Points de vigilance et propositions pour construire une séquence en résolution de problèmes

📋 Rendre visibles les objectifs de la séquence dès la première séance

L'enseignant doit rendre les objectifs de la séquence explicites dès le début.

Une première activité, comme un problème rapide sur ardoise, permet de faire émerger les difficultés que les élèves rencontreront et de les rendre réceptifs aux méthodes qui seront enseignées pour les surmonter.

Ce point de départ assure que les élèves comprennent le but de l'apprentissage et acceptent les erreurs comme faisant partie du processus.

✅ Laisser les élèves résoudre des problèmes tout en les accompagnant

La priorité doit être donnée à la résolution complète de problèmes par les élèves, plutôt qu'à des exercices ciblés sur des sous-tâches.

L'enseignant accompagne les élèves en circulation dans la classe, apportant une aide individualisée uniquement lorsque des besoins spécifiques apparaissent.

Logiquement, pour que cet accompagnement soit efficace, il faut éviter certaines pratiques qui pourraient nuire à l'autonomie et à la recherche de l'élève. Les points suivants détaillent ces écueils.

Points de vigilance dans l'accompagnement

⚠️ LIMITER LES ÉCHANGES SUR LE PROBLÈME EN AMONT DE SA RÉSOLUTION

Il faut éviter les discussions collectives sur le vocabulaire ou la méthode avant que les élèves n'aient commencé à chercher par eux-mêmes.

De tels échanges risquent de déconcentrer les élèves ou de "tuer" le problème en donnant trop d'indices, transformant une tâche de recherche en une simple exécution.

Laisser les élèves démarrer rapidement libère l'enseignant pour un accompagnement personnalisé et préserve le plaisir de la découverte.

⚠️ ÉVITER LES SÉANCES DE RÉSOLUTIONS DE PROBLÈMES CENTRÉES SUR DES SOUS-TÂCHES

Il est préférable de ne pas organiser de séances dédiées uniquement à des compétences isolées, comme repérer les données utiles ou réaliser des schémas sans résoudre le problème.

Ces pratiques peuvent développer des automatismes erronés, déconnectés du contexte global de la résolution.

Les sous-tâches doivent plutôt être explicitées lors des mises en commun, une fois que les élèves se sont confrontés au problème dans son intégralité.

⚠️ ÉVITER D'ÊTRE SURMOBILISÉ PAR LES ÉLÈVES LES PLUS EN RÉUSSITE

L'enseignant doit veiller à ne pas être sur-sollicité par les élèves les plus à l'aise, qui sont souvent plus demandeurs.

Une pratique pertinente consiste à circuler de manière ordonnée dans les rangs sans attendre que les élèves lèvent la main, afin de consulter le travail de chacun et de consacrer plus de temps à ceux qui en ont le plus besoin.

Cette organisation découle de la nécessité de gérer le temps de parole et d'intervention de manière efficace.

⚠️ ÉVITER LES PRISES DE PAROLE TROP FRÉQUENTES SUR LES TEMPS DÉDIÉS À LA RÉSOLUTION INDIVIDUELLE

Les interventions collectives de l'enseignant pendant le temps de recherche individuelle doivent rester exceptionnelles.

Même si une difficulté est partagée, il est souvent plus pertinent de transmettre l'information uniquement aux élèves qui en ont besoin pour ne pas interrompre la concentration des autres.

Cette gestion du temps de parole est cruciale pour optimiser la durée des différentes phases de la séance.

⚠️ ÉVITER LES TEMPS DE MISE EN COMMUN TROP LONGS

La résolution de problèmes par les élèves doit occuper au moins les trois quarts de la séance.

Les temps de mise en commun doivent donc être courts et ciblés, en évitant de corriger collectivement un problème réussi par tous ou, à l'inverse, abordé par très peu.

L'objectif est de mettre en avant les méthodes efficaces et de les institutionnaliser, ce qui amène au point suivant sur le développement d'automatismes.

🎯 Développer des quasi-automatismes féconds tout en apprenant à inhiber ceux qui sont contre-productifs

L'enseignement doit viser à la fois la création de réflexes efficaces (quasi-automatismes) et la capacité à inhiber les automatismes contre-productifs.

Par exemple, un élève doit reconnaître un problème de comparaison tout en inhibant l'envie de faire une addition simplement parce que le mot "plus" est présent dans l'énoncé.

Pour cela, il est essentiel de varier les problèmes et de demander régulièrement aux élèves de justifier leurs opérations.

💻 Tirer profit des outils numériques

Le numérique peut rendre les séances de résolution de problèmes plus dynamiques et efficaces.

  • • Visualiseur : projeter la production d'un élève lors d'une correction pour gagner du temps et centrer la discussion sur le raisonnement
  • • Diaporama : enchaîner rapidement de nombreux problèmes courts pour focaliser l'attention sur la compréhension des énoncés

🔄 Différencier pour permettre à tous les élèves de progresser

La différenciation consiste à adapter les tâches ou l'accompagnement aux besoins des élèves, de préférence pendant la séance plutôt qu'a priori.

L'enseignant peut agir sur trois leviers pour ajuster la difficulté d'un problème :

  • • Sa structure mathématique (en ajoutant une question intermédiaire)
  • • Son texte (en reformulant une question)
  • • Le champ numérique (en utilisant des nombres plus simples)

Le choix du levier dépend de l'objectif principal de la séance ; par exemple, on ne simplifiera pas les nombres si l'objectif est de travailler sur les décimaux.

S'appuyer sur l'institutionnalisation

L'institutionnalisation est l'acte par lequel l'enseignant rend les apprentissages visibles et leur donne un statut de savoir officiel, notamment via une trace écrite.

Cette trace (affichage, leçon dans un cahier) permet de :

  • • Dépersonnaliser les procédures
  • • Montrer leur caractère général
  • • Servir de référence pour des problèmes futurs

Cela permet de passer d'une vision de surface ("un problème sur les billes") à une compréhension de la structure mathématique sous-jacente ("un problème de comparaison"). Ce lien est fondamental pour la prochaine étape.

🔗 Faire apparaître des structures mathématiques partagées entre les problèmes

Il est essentiel d'amener les élèves à reconnaître la structure mathématique commune à des problèmes dont l'habillage est différent.

Pour cela, l'enseignant peut proposer des activités de comparaison explicite entre deux problèmes afin que les élèves identifient les analogies entre eux.

L'utilisation de schémas est un outil puissant pour visualiser et renforcer cette reconnaissance des structures partagées.

📊 S'appuyer sur l'évaluation pour renforcer les apprentissages

L'évaluation sert avant tout à renforcer les compétences des élèves.

Des évaluations courtes et fréquentes sont particulièrement efficaces pour renforcer l'attention sur des stratégies précises et améliorer la rétention à long terme.

Les évaluations doivent être pensées en amont de la séquence pour s'assurer qu'elles correspondent bien aux objectifs fixés.

📚 Enseigner explicitement des méthodes de représentation efficaces pour modéliser

💡 L'utilité des schémas en résolution de problèmes

La réalisation d'un schéma est une aide précieuse dans la plupart des cas pour modéliser et résoudre un problème.

Le raisonnement part de ce postulat général pour ensuite en nuancer la portée.

⚠️ La nécessité de schémas efficaces

Tous les schémas ne sont pas équivalents ; certains peuvent être contre-productifs s'ils sont :

  • Trop longs à faire
  • N'aident pas à la compréhension du modèle mathématique
  • Trop complexes

🎯 Le rôle d'aide et non de contrainte du schéma

Le schéma doit toujours rester un outil visant à aider l'élève, notamment en :

  • Rendant les informations plus visuelles
  • Soulageant sa mémoire de travail

Il ne doit donc jamais devenir une difficulté supplémentaire ou une exigence systématique.

De cette fonction d'aide découle la flexibilité de son usage et son intérêt pour l'enseignant.

Un outil flexible et un support au diagnostic

Les élèves peuvent progressivement se passer des schémas pour les problèmes simples, tandis que l'enseignant peut suggérer à un élève en difficulté d'en réaliser un.

Dans ce cas, le schéma produit par l'élève devient un point d'appui pour que le professeur puisse analyser les difficultés rencontrées.

✅ La nécessité d'un enseignement explicite de la représentation

La capacité à choisir un schéma pertinent et à le réaliser correctement est une compétence qui requiert un apprentissage.

Par conséquent, elle doit faire l'objet d'un enseignement explicite de la part de l'enseignant.

Cet enseignement ne peut être laissé au hasard et doit donc être planifié.

📅 Un enseignement structuré et cohérent

Pour être efficace, cet enseignement doit être mené de manière cohérente tout au long de l'année et même de la scolarité.

Le professeur a pour rôle de montrer aux élèves des types de schémas efficaces pour résoudre des problèmes spécifiques.

Quatre types de schémas à maîtriser

Le guide propose que les élèves de cours moyen sachent produire et surtout utiliser à bon escient quatre types de représentations :

📊 Les schémas en barres

Particulièrement adaptés aux problèmes additifs et multiplicatifs

📏 Les droites numériques ou lignes du temps

Utiles pour représenter des progressions et des comparaisons

📋 Les tableaux

Efficaces pour organiser les données et les relations

🌳 Les arbres

Idéaux pour les problèmes de dénombrement et de possibilités

🎓 Un apprentissage fondamental pour la suite de la scolarité

L'enseignement de ces schémas à l'école élémentaire est important, car ils constituent des outils qui seront réinvestis et utilisés au collège puis au lycée.

📝 Points clés de l'enseignement explicite des schémas

Un bon schéma aide à visualiser le problème sans ajouter de complexité inutile.
Les élèves autonomes peuvent s'en passer pour les problèmes simples.
Analyser les schémas produits permet d'identifier les difficultés de compréhension.
Montrer régulièrement différents types de schémas adaptés à chaque type de problème.
Barres, droites numériques, tableaux et arbres - chacun adapté à des situations spécifiques.
Ces schémas seront réinvestis et approfondis au collège et au lycée.

📐 Rappel des 4 types de représentations

1. Schémas en barres : Pour visualiser les parties et le tout

2. Droites numériques : Pour représenter des progressions et des écarts

3. Tableaux : Pour organiser les données et établir des correspondances

4. Arbres : Pour explorer toutes les possibilités et dénombrer

🔗 Liaison CM2-6ème

Continuité et renforcement des compétences entre le primaire et le collège

📚 La continuité de la résolution de problèmes

  • Priorité absolue : La résolution de problèmes reste une priorité tant à l'école élémentaire qu'au collège
  • Transfert des acquis : Les stratégies et outils acquis au cours moyen (CM2) sont conçus pour être directement utiles au collège, notamment en algèbre
  • Construction progressive : Le travail au cours moyen contribue à la construction des six compétences mathématiques majeures : chercher, modéliser, représenter, calculer, raisonner et communiquer

✅ Le développement des compétences mathématiques

L'apprentissage au cours moyen aide les élèves à acquérir les connaissances et compétences nécessaires pour la résolution de problèmes en fin de cycle 3 et au début du cycle 4.

  • Chercher : Développer la prise d'initiative et l'autonomie
  • Modéliser : Élaborer des pistes de solution
  • Représenter : Utiliser des schémas et outils visuels
  • Calculer : Maîtriser les automatismes
  • Raisonner : Faire des analogies entre problèmes
  • Communiquer : Expliquer sa démarche

L'utilisation d'outils de représentation au collège

Les représentations schématiques introduites à l'école élémentaire continuent d'être utilisées au collège comme outils essentiels de résolution.

📊 Schémas en barres

Ces schémas aident à résoudre des problèmes de :

  • • Fractions : Visualiser les parts et le tout
  • • Pourcentages : Représenter les réductions et augmentations
  • • Ratios : Diviser le total en parts égales
  • • Algèbre : Illustrer les équations et inconnues
  • ...

Problème de fractions avec schéma en barres

J’ai dépensé 4 septièmes de mes économies pour acheter un manteau et le tiers du reste pour une paire de chaussettes. J’ai maintenant 9,52 €.
Combien avais-je d’économies au départ ?

"9,52 € représente 2/7 des économies de Marie. Quel est le montant total de ses économies ?"

📊 Schéma en barres :

[ ][ ] = 9,52 € (2 parts sur 7)

[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ] = ? € (7 parts au total)

Résolution : Une part = 9,52 ÷ 2 = 4,76 €

Total = 4,76 × 7 = 33,32 €

Une photo

Problème de pourcentages avec schéma

Angel veut acheter une paire de chaussures. Elle a droit à une réduction de 15 % par rapport au prix normal. Le vendeur lui dit que la réduction sera de 12 €. Quel est le prix normal ?


"Après une réduction de 15%, un article coûte 42,50 €. Quel était son prix initial ?"

📊 Représentation visuelle :

100% - 15% = 85% = 42,50 €

[ 85% du prix ] = 42,50 €

[ 100% du prix ] = ?

Résolution : Prix initial = 42,50 ÷ 0,85 = 50 €


Une photo

Problèmes de ratios

"Dans un match de football avec 36 000 spectateurs, le ratio hommes-femmes est de 5:4. Combien y a-t-il d'hommes et de femmes ?"

📊 Division en parts égales :

Hommes : [ ][ ][ ][ ][ ] (5 parts)

Femmes : [ ][ ][ ][ ] (4 parts)

Total : 9 parts = 36 000 spectateurs

Résolution :

1 part = 36 000 ÷ 9 = 4 000

Hommes = 5 × 4 000 = 20 000

Femmes = 4 × 4 000 = 16 000


Une photo

Angles d'un triangle

"Les angles d'un triangle sont dans le ratio 2:3:4. Déterminer la mesure de chaque angle."

Total des parts : 2 + 3 + 4 = 9 parts = 180°

1 part = 180° ÷ 9 = 20°

Angles : 40°, 60° et 80°


Une photo

Problème algébrique - Somme des masses

"Trois animaux pèsent ensemble 180 kg. Le chien pèse deux fois plus que le chat, et le mouton pèse trois fois plus que le chien."

📊 Représentation avec inconnue :

Chat : [ x ]

Chien : [ x ][ x ] = 2x

Mouton : [ 2x ][ 2x ][ 2x ] = 6x

Total : x + 2x + 6x = 9x = 180 kg

Résolution : x = 20 kg

Chat = 20 kg, Chien = 40 kg, Mouton = 120 kg


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Rectangle transformé en carré

"Un rectangle dont la longueur dépasse la largeur de 5 cm devient un carré si on augmente sa largeur de 3 cm et diminue sa longueur de 2 cm."

📊 Modélisation algébrique :

Largeur initiale : x

Longueur initiale : x + 5

Après transformation :

Nouvelle largeur : x + 3

Nouvelle longueur : (x + 5) - 2 = x + 3

Les deux dimensions sont égales (carré) ✓


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📈 Tableaux de représentation

Les tableaux sont une méthode de représentation particulièrement utile pour :

  • • Calculer des probabilités (ex: lancer de dés)
  • • Organiser des données complexes
  • • Comparer plusieurs situations

Probabilités avec tableau

"Quelle est la probabilité d’obtenir un résultat compris entre 7 et 19 en faisant le produit des nombres obtenus sur chaque dé ? »"

📊 Tableau à double entrée :

14 cas favorables sur 36 possibles = 14/36


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🌳 Arbres de probabilités

Les arbres sont utilisés pour visualiser :

  • • Les cas possibles dans un problème de probabilité
  • • Les lancers successifs (pièces, dés)
  • • L'identification des cas favorables
  • • Les choix multiples et leurs conséquences

🌳 Arbres de probabilités

Les arbres sont utilisés pour visualiser :

  • • Les cas possibles dans un problème de probabilité
  • • Les lancers successifs (pièces, dés)
  • • L'identification des cas favorables
  • • Les choix multiples et leurs conséquences

🌿 Utilisation d'un arbre

On lance trois fois une pièce de monnaie équilibrée. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement deux fois “pile” et une fois “face” ?

L’arbre permet de repérer les 3 cas favorables parmi les 8 possibles. La probabilité est de 3/8


Une photo

⚠️ Points de vigilance pour la transition

  • Cohérence des méthodes : Les outils utilisés au CM2 doivent être reconnus et valorisés en 6ème
  • Progressivité : Les schémas simples évoluent vers des représentations plus abstraites
  • Communication : Importance du dialogue entre professeurs de CM2 et de 6ème
  • Autonomie progressive : Les élèves doivent choisir l'outil le plus adapté selon le problème

Le rôle central confirmé au cycle 4

"Les programmes de sixième et du cycle 4 confirment l'importance de la résolution de problèmes. Elle implique la prise d'initiative, l'élaboration de pistes de solution, la capacité à faire des analogies et le recours à des automatismes."

Cette continuité assure une transition harmonieuse et renforce les acquis du cycle 3 pour préparer efficacement les défis mathématiques du collège et au-delà.

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