🧠 I. Développement cognitif et apprentissage de la numération
💡 Des intuitions précoces
Les enfants entrent à l'école maternelle avec des intuitions riches sur les nombres et les quantités.
Dès les premières heures de vie, les nourrissons sont capables de percevoir des quantités numériques et d'effectuer des opérations sur des collections d'objets.
des quantités
le calcul mental
"donne-moi N"
représentation
👶 Un sens précoce des quantités
Les bébés perçoivent les quantités dès la naissance
🧮 Un sens précoce du calcul
Les nourrissons effectuent des opérations mentales
✅ L'apprentissage des mots-nombres
Un processus progressif et ordonné
Les enfants apprennent d'abord à réciter les nombres dans l'ordre, comme une comptine, sans comprendre leur signification.
Plus tard, ils comprennent que le dernier mot énoncé représente le nombre d'éléments de l'ensemble.
Les enfants apprennent le sens des premiers nombres un par un et dans l'ordre : "un", puis "deux", puis "trois"...
🤚 Le comptage sur les doigts
- • Premier pas vers l'abstraction
- • Outil efficace en maternelle
- • Représentation intermédiaire
- • Évolution vers le calcul mental
🔢 L'apprentissage des chiffres
- • Symboles pour les quantités
- • Transcodage entre registres
- • Verbal → Symbolique
- • Analogique → Symbolique
📐 La ligne numérique mentale
- • Représentation spatiale
- • Orientée gauche → droite
- • Compression des grands nombres
- • Base pour le calcul mental
📝 Quiz - Section I : Développement cognitif
Question 1 : À quel âge les enfants ont-ils un sens des quantités ?
Question 2 : À quel âge les bébés peuvent-ils effectuer des calculs approximatifs ?
Question 3 : Qu'est-ce que le principe de cardinalité ?
Question 4 : Comment les enfants apprennent-ils le sens des premiers nombres ?
Question 5 : Que représente le comptage sur les doigts ?
🎯 II. Comment favoriser les apprentissages numériques ?
💡 Principes fondamentaux
Les intuitions présentes dès la naissance constituent un socle sur lequel l'apprentissage des mathématiques peut s'appuyer.
Il faut greffer les symboles sur ces intuitions et développer des automatismes par l'exercice.
Stratégies
pédagogiques
Registres de
représentation
Types de
cohérence
🌱 Greffer les symboles sur les intuitions de quantité
Partir de ce que l'enfant sait déjà
✅ Apprendre en s'exerçant pour développer des automatismes
La répétition structurée au service de l'apprentissage
L'automatisation des premières activités numériques permettra aux élèves d'utiliser cette base pour entrer dans des activités de plus en plus complexes.
Les automatismes permettent de soulager la charge cognitive et de se concentrer sur des aspects plus complexes du problème.
Des activités courtes mais fréquentes sont plus efficaces que de longues séances espacées.
🎲 Favoriser l'apprentissage des nombres grâce aux jeux
Le jeu comme vecteur d'apprentissage structuré
🎯 Conditions d'efficacité
- • Objectif d'apprentissage clair
- • Inscription dans une séquence
- • Progression planifiée
- • Retour réflexif sur l'activité
🎮 Types de jeux privilégiés
- • Jeux de plateau avec dés
- • Jeux de cartes numériques
- • Jeux de société adaptés
- • Jeux symboliques (marchande...)
🎪 Rôle du professeur
- • Observer les stratégies
- • Accompagner sans imposer
- • Valoriser les essais
- • Institutionnaliser les savoirs
💭 Favoriser la réflexion
Développer la pensée mathématique
⚡ Focus : Égalité filles-garçons en mathématiques
Prévenir les inégalités dès la maternelle
Les études qui portent sur l'école maternelle n'indiquent pas de distinction de genre dans la maîtrise des compétences mathématiques. La distinction se fait à partir de 6 ans, ce qui interroge l'enseignement des mathématiques au début de l'école élémentaire.
Il est important d'exercer une vigilance quotidienne dans sa classe pour contrer les stéréotypes de genre inconsciemment à l'œuvre dès l'école maternelle :
- • Choisir des collections à dénombrer ou des objets à manipuler qui n'ont pas de valeur genrée ou bien qui sont proposés indifféremment aux filles et aux garçons quelle que soit leur nature stéréotypée
- • Interpeller quantitativement et qualitativement, à la même hauteur, les filles et les garçons
- • Ne pas enfermer les élèves dans des identités d'élève-fille ou d'élève-garçon à partir de consignes ou d'interpellations stéréotypées
Les évaluations repères de CP et CE1 montrent qu'à l'entrée au CP, aucune différence de résultats en mathématiques n'est constatée selon le sexe des élèves. Cependant, dès le temps 2 du CP, et plus encore au CE1, les écarts se creusent entre filles et garçons, au détriment des filles.
📝 Quiz - Section II : Favoriser les apprentissages
Question 1 : Sur quoi faut-il greffer les symboles numériques ?
Question 2 : Pourquoi développer des automatismes est-il important ?
Question 3 : Quelle condition rend le jeu efficace pour l'apprentissage ?
Question 4 : Comment favoriser la réflexion mathématique ?
Question 5 : Quel est le rôle du professeur dans les jeux mathématiques ?
📚 III. Apports de la recherche en didactique
💡 Théorie des situations didactiques
Les savoirs mathématiques enseignés à l'école primaire sont avant tout des outils pour résoudre des problèmes.
Brousseau a conçu une théorie où chaque situation a un rôle spécifique dans la construction des connaissances.
situations
du nombre
représentation
Les 5 types de situations didactiques
Le professeur conduit les élèves à s'approprier la tâche et à s'engager dans sa réalisation. Il familiarise avec le matériel, fait comprendre les contraintes et précise les critères de réussite.
Les élèves cherchent à réaliser la tâche proposée. Ils se confrontent aux contraintes et adaptent leurs procédures au fil des essais.
L'élève doit communiquer oralement ou par écrit. Il apprend à mettre en lien le nombre et sa désignation orale ou écrite.
Le professeur conduit les élèves à établir (ou réfuter) la validité des procédures mises en œuvre.
Le professeur dégage la généralité des procédures rencontrées. Les élèves apprennent que ces procédures pourront être réutilisées pour résoudre d'autres problèmes analogues.
✅ Les 3 fonctions du nombre enseignées en maternelle
🔢 Fonction cardinale
Le nombre pour exprimer une quantité
- • "Combien y a-t-il de... ?"
- • Dénombrer des collections
- • Réaliser des collections
- • Comparer des quantités
📍 Fonction ordinale
Le nombre pour indiquer un rang, une position
- • "Quel est le... ?"
- • Position dans une file
- • Ordre d'arrivée
- • Numéro dans une série
🧮 Pour comparer ou calculer
Le nombre comme outil de résolution
- • Comparaisons
- • Ajouts et retraits
- • Partages équitables
- • Anticipation de résultats
📊 Les 3 registres de représentation du nombre
Le transcodage est le fait de passer d'un registre à l'autre
🎯 Registre analogique
Représentation concrète ou figurée
- • Objets manipulables
- • Doigts
- • Constellations
- • Collections dessinées
🗣️ Registre verbal
Représentation par un mot-nombre
- • "un", "deux", "trois"...
- • Comptine numérique
- • Désignation orale
- • Communication verbale
✏️ Registre symbolique
Représentation par un symbole écrit
- • Chiffres : 1, 2, 3...
- • Écriture mathématique
- • Code abstrait
- • Mémoire de la quantité
Exemples de situations didactiques
🚂 "Les voyageurs" (Fonction cardinale)
Objectif : Constituer une collection équipotente
L'élève dispose d'un wagon avec des sièges dessinés. Il doit aller chercher, dans un coin éloigné de la classe, autant de voyageurs qu'il y a de sièges. L'éloignement contraint l'élève à trouver un moyen de garder la mémoire de la quantité.
🐌 "L'escargot" (Fonction ordinale)
Objectif : Utiliser le nombre pour repérer une position
14 cartes sont alignées entre un disque bleu et un disque rouge. Un escargot est caché sous l'une d'elles. Les élèves doivent guider un camarade qui a les yeux fermés en utilisant uniquement des mots.
📊 "Les trois bandes" (Comparaison)
Objectif : Comparer et égaliser des collections
L'élève doit répartir des pions sur trois bandes pour avoir le même nombre sur chaque bande. La situation évolue en 3 étapes pour passer de la correspondance terme à terme au dénombrement.
📝 Quiz - Section III : Apports de la didactique
Question 1 : Combien de types de situations didactiques distingue Brousseau ?
Question 2 : Quelles sont les 3 fonctions du nombre enseignées en maternelle ?
Question 3 : Qu'est-ce que le transcodage ?
Question 4 : Qu'est-ce que la dévolution ?
Question 5 : Quel est l'objectif de la situation "Les voyageurs" ?
🎓 IV. Mise en œuvre pédagogique différenciée
💡 Prendre en compte tous les élèves
Acquérir le nombre c'est être capable de résoudre des problèmes qui mobilisent le nombre en utilisant toutes les procédures possibles.
Envisager la progressivité des apprentissages nécessite d'identifier tous les types de situations impliquant le nombre.
Étapes pour la
fonction cardinale
Niveaux de
matériel
Types de
problèmes
✅ Construire une programmation de cycle
Un travail d'équipe essentiel
Les enseignants doivent travailler ensemble pour définir une progressivité des enseignements sur tout le cycle.
L'inventaire des problèmes impliquant le nombre permet d'envisager une programmation à partir des types de situations et des procédures travaillés.
Assurer la continuité des apprentissages de la PS à la GS, puis vers le CP.
🤲 Faire évoluer le rôle de la manipulation
De la manipulation concrète vers l'abstraction
L'enseignant utilise du matériel visible par tous
Les élèves disposent d'objets correspondant au contexte du problème
Les élèves disposent d'objets symboliques (jetons, cubes...)
Les élèves ne disposent pas d'objets manipulables
La manipulation n'est pas une finalité, mais une étape intermédiaire. Elle est progressivement empêchée afin de permettre aux élèves de comprendre les concepts mathématiques abordés.
Programmation de la fonction cardinale
Correspondance terme à terme pour des quantités ≤ 3
Reconnaissance visuelle et désignation orale de 1 à 3
Procédures visuelles pour comparer des quantités
Reconnaissance et désignation de 1 à 4 (décompositions)
Quantités de 1 à 6 (constellations)
Désignation jusqu'à 6 en comptant
Quantités jusqu'à 10
Quantités au-delà de 10
✅ Programmation de la résolution de problèmes
Une progression dans la complexité
🟢 Problèmes faciles
À proposer dès que les élèves déterminent les quantités
- • Recherche de la quantité totale (réunion)
- • Recherche de la quantité finale (ajout)
🟡 Problèmes moyens
Quand les précédents sont maîtrisés
- • Recherche d'une partie (réunion)
- • Recherche de la quantité finale (retrait)
🔴 Problèmes complexes
En fin de cycle
- • Problèmes de groupements
- • Problèmes de partage
Rôle du langage dans l'apprentissage
La verbalisation par l'enseignant et par l'élève des actions réalisées constitue une aide importante à la prise de conscience des procédures utilisées.
L'enseignant introduit le vocabulaire spécifique pour que les enfants l'apprennent, se l'approprient et l'utilisent.
Aider à décrire les situations, les relations et à justifier sa réponse développe la pensée mathématique.
📝 Quiz - Section IV : Mise en œuvre pédagogique
Question 1 : Combien d'étapes compte la progression de la fonction cardinale ?
Question 2 : Quel est le rôle de la manipulation dans l'apprentissage ?
Question 3 : Quels sont les problèmes les plus faciles ?
Question 4 : Comment évolue le matériel de manipulation ?
Question 5 : Quel est le rôle du langage dans l'apprentissage du nombre ?
🎨 V. Les 4 modalités d'apprentissage en maternelle
💡 Un enseignement spécifique
À l'école maternelle, l'enseignant mobilise et articule les 4 modalités spécifiques d'apprentissage.
Ces modalités peuvent se recouper, se superposer, se succéder au cours d'une même séquence.
en jouant
réfléchissant
s'exerçant
mémorisant
🎲 Privilégier le jeu : apprendre en jouant
Le jeu comme vecteur d'apprentissages mathématiques
✅ Apprendre en réfléchissant et en résolvant des problèmes
Développer la pensée mathématique
Les situations proposées sont construites de manière à faire apparaître le nombre comme utile pour exprimer des quantités, désigner un rang ou une position, anticiper le résultat d'une action.
Les problèmes proposés sont ancrés dans des situations concrètes qui ont du sens pour les élèves.
Encourager les élèves à anticiper un résultat avant de le vérifier développe leur capacité de raisonnement.
🏃 Apprendre en s'exerçant
L'entraînement au service de la maîtrise
Il s'agit de reprendre une activité de classe qui n'est pas encore maîtrisée en proposant un entraînement systématique dans un contexte sécurisé.
L'exercice régulier permet de développer des automatismes qui libèrent la mémoire de travail pour des tâches plus complexes.
Les exercices sont adaptés au niveau de chaque élève pour maintenir un défi approprié.
🧠 Apprendre en se remémorant, en mémorisant
Construire des connaissances durables
📝 Quiz - Section V : Les 4 modalités
Question 1 : Quelles sont les 4 modalités d'apprentissage en maternelle ?
Question 2 : Quel type de jeu est particulièrement utile pour les apprentissages mathématiques ?
Question 3 : Que fait l'enseignant pendant les jeux ?
Question 4 : Qu'est-ce qu'apprendre en s'exerçant ?
Question 5 : Comment les modalités d'apprentissage s'articulent-elles ?
🌉 VI. Continuité Grande Section - CP
💡 Sécuriser l'entrée au CP
Favoriser la continuité du parcours d'apprentissage de l'élève entre la grande section et le CP.
La continuité des apprentissages est renforcée par une harmonisation pédagogique autour de deux axes : collectif et individuel.
Axes de
réflexion
Faits numériques
à mémoriser
Jeux à
poursuivre
👥 Axe collectif
- • Outils communs
- • Matériels partagés
- • Procédures harmonisées
- • Progressions articulées
- • Programmations cohérentes
👤 Axe individuel
- • Acquis de l'élève
- • Réussites identifiées
- • Points d'attention
- • Besoins spécifiques
- • Parcours personnalisé
✅ Les faits numériques : base essentielle
Des automatismes à construire progressivement
Les faits numériques sont les résultats de calculs mémorisés disponibles immédiatement. Ils jouent un rôle essentiel car ils soulagent la mémoire de travail des élèves.
Le travail de décomposition, de recomposition des nombres, des compléments à dix mené en maternelle constitue une base essentielle dans la mémorisation des faits numériques.
Les jeux effectués en maternelle tels que Lucky Luke ou Greli-Grelo favorisent la mémorisation des faits numériques et ont vocation à être poursuivis en CP sous différentes formes.
Une fragilité dans la connaissance de ces faits numériques a des répercussions négatives sur les performances ultérieures en mathématiques.
🔟 Construction du système décimal
Le jeu des allumettes
Situations de référence GS/CP
🚲 Les roues des véhicules
En GS : "J'ai 8 roues. Combien peut-on équiper de motos ? De voitures ?"
En CP : "J'ai 18 roues. Combien peut-on équiper de voitures et de motos ?"
Cette situation évolue en complexité tout en gardant la même structure.
🍽️ Une assiette pour chaque poupée
Étape 1 : "Va chercher juste ce qu'il faut d'assiettes pour que chaque poupée ait une assiette."
Étape 2 : "J'ai 5 poupées et 3 assiettes. Combien manque-t-il d'assiettes ?"
Cette situation travaillée en maternelle prépare aux problèmes de comparaison et de complément au CP.
📝 Le passage aux écritures mathématiques
Une étape déterminante du CP se situe dans le passage d'une procédure de dénombrement (comptage, surcomptage ou décomptage) à la traduction en termes d'écritures additives (7 + 5 = 12) ou soustractives (12 − 7 = 5).
📝 Quiz - Section VI : Continuité GS-CP
Question 1 : Quels sont les deux axes de la continuité GS-CP ?
Question 2 : Que sont les faits numériques ?
Question 3 : Pourquoi les faits numériques sont-ils importants ?
Question 4 : Quelle est l'étape déterminante du CP en mathématiques ?
Question 5 : Quel jeu permet de construire l'aspect décimal de la numération ?
❓ Questions fréquentes sur l'enseignement des premiers outils mathématiques
💡 Des réponses aux interrogations courantes
Cette section répond aux questions que se posent fréquemment les enseignants de maternelle.
Cliquez sur chaque question pour découvrir la réponse détaillée.
Les élèves qui arrivent en petite section savent-ils compter ? ▼
Non, les élèves qui entrent en petite section ne savent pas tous compter.
La moitié d'entre eux savent donner « trois cubes » quand on le leur demande. En revanche, tous ont déjà fréquenté les nombres d'une manière implicite. Leur maîtrise en est cependant inégale.
La recherche indique que les enfants de cet âge auraient une compréhension intuitive de l'arithmétique simple. Pour les élèves, les difficultés pour appréhender les nombres apparaissent souvent quand il s'agit de mettre en œuvre ces savoirs dans des tâches plus complexes et de commencer un enseignement explicite, indispensable pour manipuler des nombres plus grands que « trois ».
Peut-on proposer, en petite section, une situation mathématique impliquant six objets alors que les élèves ne maîtrisent que les mots-nombres 1, 2 et 3 ? ▼
Oui, des situations impliquant six objets peuvent être proposées pour des comparaisons de collections.
Prenons l'exemple d'une activité pouvant être résolue par des élèves de trois ans : chaque élève dispose de six assiettes et de cinq fourchettes. La question porte sur l'égalité ou non des quantités des deux collections.
Pour mettre la table, il faut une fourchette pour chaque assiette. Le matériel étant déplaçable, l'élève peut placer une fourchette dans chaque assiette et se rendre compte qu'il reste une assiette sans fourchette.
Cette procédure de correspondance terme à terme n'implique pas de savoir dire la quantité de fourchettes ou d'assiettes. Cette situation portant sur des quantités supérieures à trois peut être proposée à des élèves de trois ans.
Doit-on systématiquement faire compter le nombre de présents par les élèves ? ▼
Non. L'adverbe « systématiquement » fait référence à un rituel.
Une activité ritualisée est une activité proposée régulièrement aux élèves pendant une période de l'année. Elle est en lien avec une séquence d'apprentissage, au cours de laquelle les élèves ont manipulé du matériel, ont expérimenté des procédures, les ont verbalisées.
Oui, si cela répond à un apprentissage précis. Le focus « Décomposer et composer les nombres jusqu'à 10 » présente une activité ritualisée qui consiste à dénombrer les élèves absents afin de travailler sur de petits nombres.
La possibilité de proposer cette activité au-delà de quatre absents dépend de la progression atteinte sur le nombre en tant que quantité. Cette activité peut être pertinente si elle est utilisée pour travailler la comptine numérique, notamment en moyenne section.
Pourquoi, lorsque l'on demande à un élève combien il y a d'éléments dans une collection, énonce-t-il la comptine des nombres sans répondre par un mot-nombre comme attendu par la question « combien » ? ▼
Cet élève ne semble pas avoir construit la notion de quantité liée à la cardinalité du nombre.
Pour lui, le nombre n'est pas encore totalement un indicateur de la quantité. Brissiaud explique cela en distinguant le comptage-numérotage et le comptage-dénombrement.
Parmi les élèves qui comptent les jetons du premier jusqu'au huitième, dans une collection de huit jetons, certains attribuent un nom de nombre à chaque jeton sans que ce nom exprime le nombre de jetons. Ils ont compté jusqu'à huit, mais cela ne signifie pas pour eux qu'il y a huit jetons dans la collection. Ils ont effectué un comptage-numérotage.
Pour d'autres élèves en revanche, « huit » exprime bien une quantité. Ces élèves ont effectué un comptage-dénombrement.
Pour inciter au comptage-dénombrement, le professeur peut insister pour que les élèves mettent en lien les noms des nombres et le dénombrement : « un jeton et encore un jeton, ça fait deux jetons, et encore un jeton, ça fait trois jetons… et encore un jeton, ça fait huit jetons ».
Les enfants comptent avec leurs doigts, est-ce une bonne chose ? ▼
Oui, le comptage sur les doigts est une étape pour accéder au comptage verbal.
Cette transition est progressive et dépend principalement de la capacité de l'enfant à contrôler mentalement le déroulement du calcul et à conserver une trace de ce qui a été et de ce qui reste à compter.
Les élèves utilisent plusieurs stratégies :
- • La première en partant de 1 : 3 + 4 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
- • La seconde à partir du premier terme de l'opération : 3, 4, 5, 6, 7
- • Et peu à peu à partir du nombre le plus grand : 4, 5, 6, 7
Des procédures équivalentes sont relevées sur les soustractions.
Peut-on proposer des situations de résolution de problèmes dès la petite section ? ▼
Oui, des situations-problèmes doivent être proposées dès la petite section.
La confrontation à des résolutions de problèmes constitue une des quatre modalités d'apprentissage de la maternelle.
Les problèmes arithmétiques évoqués dans le programme d'enseignement portent sur des nombres en tant que :
- • Quantité : composition de deux collections, ajout ou retrait à une collection, produit ou partage
- • Position : déplacements en avant ou en arrière
Il est nécessaire d'avoir déjà acquis l'utilisation des nombres en tant que quantité ou position avant de proposer ces problèmes arithmétiques.
Comment différencier son enseignement de la construction du nombre ? ▼
La différenciation repose sur une évaluation fine des progrès et des acquis des élèves.
La régulation des situations d'apprentissage proposées passe par une connaissance fine, par l'enseignant, du positionnement de chaque élève dans le parcours conduisant aux apprentissages sur le nombre attendus à la fin de l'école maternelle.
L'enseignant planifie, régule et différencie les activités qu'il propose aux groupes d'élèves en variant notamment :
- • La taille des collections
- • Le fait de pouvoir agir directement ou non sur les objets (les déplacer, les manipuler ou non)
- • Le fait d'avoir à anticiper la réponse lorsque les objets sont éloignés ou dissimulés
- • Le fait d'être contraint à formuler, oralement ou par écrit, la quantité d'objets à aller chercher
Ces variables importantes amènent progressivement les élèves à faire évoluer leurs procédures et à construire les savoirs attendus.